KALKULUS

1.6 garis lurus

Dalam banyak hal garis lurus adalah yang paling sederhana dari semua kurva. Anda dianggap telah mempunyai pemahaman intuitif yang baik mengenai konsep ini dengan melihat pada sebuah tali tegang atau mengamati sepanjang sisi sebuah penggaris. Dalam banyak hal marilah kita sepakat bahwa dua titik, misalnya, A (3, 2) dan B (8,4) yang diperlihatkan pada Gambar 1, menentukan sebuah garis unik yang melalui titik-titik tersebut. Dan mulai saat ini kita menggunakan kata garis sebagai  kata lain untuk garis lurus.

 

                                                                                                                

                    Gambar 1                                                                        Gambar 2

            Sebuah garis merupakan objek geometris. Bila ditempatkan pada suatu bidang koordinat, garis ini tentulah mempunyai persamaan, seperti halnya lingkaran. Bagaimana kita mencari persamaan suatu garis? Untuk menjawabnya, kita memerlukan gagasan tentang kemiringan.

Kemiringan garis. Tinjaulah garis pada Gambar 1. Dari titik A ke titik B, terhadap suatu kenaikan (perubahan vertikal) sebesar  2 satuan dan suatu larian (perubahan horizontal) sebesar 5 satuan. Dikatan bahwa garis itu mempunyai kemiringan . Umumnya (Gambar 2 ) untuk sebuah garis melalui A (x₁,y₁) dan B (x₂ dan y₂), dengan x₁ ≠ x₂, kita definisikan kemiringan m dari garis itu sebagai

 

                        Gambar 3

Anda tentu segera bertanya. Sebuah garis mempunyai banyak titik. Apakah nilai yang diperoleh untuk kemiringan bergantung pada pasangan titik yang kita gunakan untuk A dan B ? segitiga sebangun dalam gambar 3 memperlihatkan bahwa

Jadi, titik A` dan B` akan memenuhi sebagaimana halnya A dan B. tidak menjadi masalah apakah A terletak di kiri atau di kanan B , karena

Yang penting adalah bahwa koordinat-koordinat yang dikurangkan berada dalam urutan yang sama pada pembilang dan penyebut

            Kemiringan m adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti yang di ilustrasikan pada Gambar 4. Perhatikan bahwa garis mendatar mempunyai kemiringan nol, garis yang naik ke kanan mempunyai kemiringan positif, dan garis yang jatuh ke kanan mempunyai kemiringan negative. Semakin besar kemiringannya, semakin curam garis tersebut. Konsep kemiringan untuk garis tegak tidak mempunyai arti, karena akan menyangkut pembagian dengan nol. Karena itu, kemiringan untuk garis tegak dibiarkan tak terdefinisi.

Garis-garis dengan beragam kemiringan

Gambar 4

Bentuk kemiringan titik. Tinjaulah kembali mengenai garis pada permulaan bab ini yang digambar ulang pada gambar 5.

 

                        Gambar 5

Kita mengetahui bahwa garis ini

1.      Melalui (3, 2) dan

2.      Mempunyai kemiringan

Ambillah sembarang titik lain pada garis itu, misalnya titik dengan koordinat (x, y). jika kita menggunakan titik ini dan titik (3, 2) untuk mengukur kemiringannya, kita harus mempeoleh  yaitu

 =

Atau, setelah mengalikannya dengan ,

 

Perhatikan bahwa persamaan terakhir ini dipenuhi pada semua titik pada garis itu, bahkan oleh (3, 2). Lebih lanjut, tak satu pun titik yang tidak terletak pada garis tersebut dapat memenuhi persamaan ini.

            Apa yang baru saja dilakukan dalam contoh kita, tentunya dapat dilakukan secara umum. Garis yang melalui titik (tetap) (x₁, y₁) dengan kemiringan m mempunyai persamaan

 

Ini disebut bentuk kemiringan-titik dari persaman sebuah garis.

            Tinjaulah kembali pada contoh diatas. Garis itu melalui (8, 4) seperti halnya (3, 2). Jika (8, 4) digunakan sebagai (x₁, y₁), kita memperoleh persamaan

Yang kelihatannya berbeda dari

Namun, keduanya dapat disederhanakan menjadi 5y – 2x = 4; keduanya setara.